El área del círculo

Ahora que sabemos calcular la longitud de la circunferencia, vamos a tratar de determinar el área de un círculo. Lo que vamos a hacer es dividirlo en sectores (por ejemplo de 30º cada uno) y reodenarlos para formar un rectángulo, que lógicamente tendrá el mismo área que el círculo. La superficie de un rectángulo se calcula simplemente multiplicando la longitud de sus lados así que sólo tendríamos que averiguar cuánto miden estos lados. Lo voy a mostrar en un vídeo casero que he hecho:

O sea, que el área de un círculo (que vamos a llamar A) se calcula multiplicando π por el cuadrado del radio (R): A=πR2

Niño que se da cuenta de todo: pero el lado largo del rectángulo no es exactamente recto.

Maestra: pues verdad, no es exactamente recto. Sin embargo, fíjate que si tomamos sectores (o triangulitos) más pequeños el borde sería un poco más recto. Con la cartulina no los podemos hacer infinitamente pequeños, pero sí nos podemos imaginar que llega un momento en que el borde  termina por ser realmente recto.

Ejercicio: explicar cómo construir el rectángulo a partir del círculo y pedir a los niños que traten de deducir su superficie.

Los que se acuerden de cómo calcular el área de un triángulo (base por altura partido por dos) encontrarán interesante este otro vídeo (más profesional):

La longitud de la circunferencia y el número π

Todos los círculos son iguales, lo que significa que si dividimos la longitud de su circunferencia (a la que llamaremos L) y su diámetro (que llamaremos D), nos da siempre el mismo número ¿Y qué es el diámetro? Pues el segmento que pasa por el centro del círculo y que lo divide en  dos partes iguales. Esto se ve mejor en el dibujo de abajo.

Ahora vamos a ver cuál es el resultado de esa división, es decir, cual es la proporción entre la longitud de una circuferencia y su diámetro. Para ello vamos a buscar objetos de forma circular o cilíndrica (una lata de refresco, un tubo de pegamento, un tarro de mermelada…) y vamos a tomar las medidas correspondientes usando un trozo de cordel y una regla. Los resultados los vamos anotando en una tabla. Yo lo he hecho con cosas que he ido encontrando en casa y estos han sido los resultados:

El resultado no es siempre el mismo porque al medir se cometen errores pero siempre me da tres y pico. Y efectivamente, la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es 3 y pico, más exactamente: 3,14159265358979323846… con puntos suspensivos porque es un número con infinitas cifras decimales. Como es un número muy útil y es complicado escribir tantos decimales, lo nombramos con la letra griega π que se lee ‘pi’.

O sea que: L/D= π

Así que multiplicando el Diámetro de un círculo por el número π sabremos cuál es la longitud de su circunferencia. O sea: L= πD

A veces hablamos de radio en lugar de diámetro, por ejemplo, el radio de una rueda de bicicleta. El radio (que vamos a llamar R) no es otra cosa que la mitad del diámetro, o sea, que dos radios hacen un diámetro. Así que la longitud de una circunfrencia también se puede escribir como: L= 2πR

Ejercicio: pedir a cada niño que traiga un objeto con alguna superficie circular y que mida la longitud de su circunferencia, su diámetro y que haga la división. Al final se escriben todos los resultados en una tabla y se hace la media.

El disco de Newton

Disco de NewtonIsaac Newton se dio cuenta de que la luz blanca, del Sol, se descomponía en los colores del arcoiris al hacerla pasar a través de un prisma de cristal, así que pensó que esos mismos colores pueden volver a unirse para formar la luz blanca. Para demostrarlo ideó un disco con sectores pintados de cada uno de los colores del arcoiris. Al hacerlo girar rápidamente, estos se combinan formando el color blanco.

En este caso yo lo pinté  igual que Newton (como se ve en la imagen de la izquierda, extraída de la wikipedia) aunque, por una confusión sobre el nombre de los colores, usé turquesa en lugar del llamado índigo que es en realidad añil en español. En definitiva, me quedó así: amarillo (un sector de 30º), verde (30º), azul (30º), turquesa (15º), violeta (30º), rojo (30º) y naranja (15º). Para hacerlo girar acoplé un motorcito con su pila y un interruptor, algo que Sir Isaac no pudo hacer porque en su tiempo aún no se habían inventado. En internet hay cientos de vídeos con esta misma experiencia pero yo voy a mostrar el que hice con lápices de colores para llevar a la “semana cultural”. En general fue motivo de asombro para los niños que lo vieron, algo que tengo que reconocer me asombró a mí también: a veces pensamos que los niños de hoy en día ya lo han visto todo y no es verdad. Así se ve el disco al girar:

Problemas de matemáticas

He encontrado estos problemas en un libro alemán de matemáticas(*) para niños de primero de primaria. Son como esos pasatiempos, que a veces vienen en los períodicos, para encontrar el número que corresponde a cada uno de los dibujos. Las matemáticas tienen la ventaja de ser universales así que no hace falta saber alemán para poder hacerlos. Pinchando sobre las imágenes se ven más grandes. Parecen complicados, ¿no? Pero los niños son más listos de lo que parecen 🙂

Libro alemán 02

(*) Mathe-Stars 1, Knobel- und Sachaufgaben; 2008, Oldenbourg Schulbuchverlag.

Cohete

Este es un pcohete paso 2equeño cohete que hice con cartulina, un globo y cañitas, una actividad de las que se puede catalogar como “vieja como el mundo” y que me parece didáctica para niños pequeños. Surgió com trabajo para hacer con los de primero en la “semana cultural”, donde había que preparar un taller de un par de horas. Al final me tocó estar con niños mayores e hicimos un zoótropo, que quizás algún día ponga aquí. Aquí y aq he colgado el cohete que yo hice para que pueda ser usado como plantilla. Yo he puesto una cañita fina  por donde he pasado hilo de nailon y una más gruesa (con la fina la fuerza es insuficiente par impulsar el cohete) donde va el globo enganchado con un elástico.  Todo va pegado con cinta adhesiva y pegamento de barra normal y corriente.

Se trata de mostrar el principio de funcionamiento de un cohete, que se basa en la tercera ley de Newton: a cada acción corresponde siempre una reacción igual y contraria. En un globo inflado y cerrado la presión del aire actúa en todas las direcciones pero el globo no se mueve porque las fuerzas de las paredes se anulan con las fuerzas del aire. Si dejamos escapar el aire del globo, tendremos un chorro de moléculas de gas que sale a gran velocidad, provocando la correspondiente reacción que impulsa el cohete en sentido opuesto, o sea, hacia delante. En los cohetes de verdad ocurre lo mismo pero no hay globos sino cámaras de combustión donde además de combustible hay oxígeno.

Finalmente incluyo un vídeo, grabado con más pena que gloria, donde se ve el ingenio en funcionamiento: 3,2,1…

Los barquitos sudokeros

Les presento un juego que me he inventado y que he bautizado como los “barquitos sudokeros”.  Además de ser un entretenimiento razonablemente divertido, con el juego se intenta que los niños se concentren y creen su propia estrategia para encontrar los números iniciales de un sudoku y resolverlo. Además, tendrán que manejar con soltura datos dispuestos en matrices.
Combina el clásico juego de los barquitos con los sudokus. Cada participante recibe dos tableros: uno con un sudoku ya resuelto con algunos números marcados en negro (los barquitos) y otros en azul (el agua), mientras que el otro tablero tendrá todas las casillas en blanco. Como en el juego de “hundir la flota”, a cada una de las filas se le ha asignado una letra y a cada columna un número. Un ejemplo es el se muestra en la siguiente figura (pinchando sobre la imagen se puede ver en grande):

Ejemplo de los tableros que cada jugador tiene en el juego de los barquitos sudokeros.

La mecánica del juego es muy sencilla. El objetivo es que cada uno resuelva el puzzle de su compañero para lo que deberá, obviamente, conocer algunos números que sirvan para deducir el resto. Para que el juego esté equilibrado, el grado de dificultad de los puzzles deberá ser similar y el número de casillas negras de cada jugador el mismo. Por turnos, cada participante preguntará a su rival por una posición determinada del tablero. Si en esa posición hay un barquito, éste deberá decirle qué número hay en esa casilla para que el primero lo anote en su tablero en blanco. En este caso, el mismo jugador repetirá turno. Si por el contrario, la casilla por la que ha preguntado es azul, dirá “agua” y el turno pasa al oponente. Por ejemplo, si jugamos con el sudoku de la figura y nuestro compañero dice C-III, habrá acertado un barquito y podrá escribir el número 9 en la misma casilla de su tablero vacío. Si al repetir tuno dice C-IV, responderemos “agua” y nos tocará entonces preguntar a nosotros. No es necesario conocer todos los barquitos del compañero para resolver el sudoku aunque obviamente cuanto más pistas se tengan más fácil será. Si con sólo algunos números somos capaces de deducir algún otro, lo podemos anotar en el tablero aunque no hayamos preguntado por esa posición. El ganador es el jugador que primero resuelva sin error el tablero del contrario.

Modelo a escala del Sistema Solar

La actividad que voy a explicar pretende familiarizar a los niños con las verdaderas dimensiones del sistema solar. Por un lado se tratarán las distancias de los planetas al Sol y por otro los tamaños relativos de los distintos cuerpos del sistema solar.

¿Dónde se puede realizar?

Nuestro modelo de sistema solar tendrá unos 50 m de largo así que el aula se va a quedar pequeña. Se recomienda salir al patio o  ir a una plaza o a un parque cercano.

¿Qué material se necesita?

  • Lápiz, papel (o el PDF que doy al final) y tiza.
  • Una cinta métrica o un metro de carpintero.
  • Una bobina de cuerda fina (al menos 60 m de cuerda).
  • 9 pinzas de la ropa y 9 palitos.
  • Varios bloques de plastilina.
  • Una pelota de baloncesto.
  • Una pelota de voleibol.
  • 2 pelotas de tenis.
  • Varios boliches.

¿Qué hay que hacer?

Se propone hacer en grupo las siguientes actividades:

1) En la tabla (pinchando sobre ella se ve más grande) se dan las distancias al Sol de los planetas del sistema solar y, en la última fila, el diámetro del Sol.

1.A. Pasa las distancias a escala tomando un factor de escala de 1:100.000.000.000, es decir, suponiendo que 1 centímetro equivale a 100.000.000.000 centímetros o, lo que es lo mismo, 1.000.000 kilómetros. (En azul y cursiva he escrito el resultado en unidades manejables).

abla 1: Distancias de los planetas al Sol y diámetro del Sol, reales y a escala 1:100.000.000.000

Tabla 1: Distancias de los planetas al Sol y diámetro del Sol, reales y a escala 1:100.000.000.000

1.B. Con la plastilina haz una bolita del tamaño que hemos calculado para el Sol. Elige un punto del patio donde queremos que esté situado y a partir de ahí mide las distancias que se han calculado usando el metro y la bobina de cuerda. En cada posición pon una tarjeta con la foto del planeta (que puedes descargar en el PDF que doy al final – recuerda que las imágenes sólo se pueden usar con fines educativos) y el nombre del planeta correspondiente . Con las pinzas de la ropa y los palitos se pueden hacer unos soportes para las fotos.

2) En esta otra tabla se muestran los diámetros del Sol y de los planetas.

Tabla 2: Diámetros reales y a escala 1:600.000.000 del Sol y los planetas del sistema solar.

2.A. Pon los diámetros a escala tomando un factor de escala de 1:600.000.000, es decir, suponiendo que 1 centímetros equivale a 600.000.000 centímetros o, lo que es lo mismo 6.000 kilómetros. (En azul y cursiva he añadido los resultados en unidades manejables).

2.B. Dibuja un círculo con tiza del tamaño a escala del Sol y después con las pelotas de baloncesto, voleibol y tenis y con los boliches, ayudándote también de la plastilina, construye un modelo a escala de los planetas. (El círculo se puede dibujar fácilmente usando un trozo de cuerda a modo de compás. Además, la escala se ha elegido para que Júpiter tenga el tamaño de una pelota de baloncesto y Saturno de una pelota de voleibol. Urano y Neptuno serían algo mayores que las pelotas de tenis pero recubriéndolas de plastilina se pueden conseguir las dimensiones deseadas. Los planetas pequeños se pueden representar con los boliches y la plastilina. Todos los planetas deben de caber en el círculo que representa el Sol).

En las actividades 1 y 2 hemos usado escalas diferentes así que ambos modelos no se pueden poner juntos. Sin embargo, nos podemos hacer una idea de las dimensiones del sistema solar al comparar el tamaño del Sol en uno y otro modelo y el tamaño relativo de los planetas.
¡Es muy difícil imaginar cómo es el sistema solar!

Además de familiarizar a los niños con las dimensiones del sistema solar, esta actividad permite trabajar con los conceptos de escala y orden de magnitud, además de que sirve para practicar los cambios de unidades y la notación científica. De todas maneras, los que se quieran ahorrar los cálculos pueden usar este calculador de escalas para el sistema solar.

He creado un PDF que los profesores pueden descargar para hacer esta actividad con sus alumnos:

PDF de la actividad: el sistema solar a escala

Cuaderno de lugares comunes

Una actividad bonita para niños de Primaria es la de llevar un cuaderno de ‘lugares comunes’. Estos son cuadernos de citas memorables cuyo uso se remonta a Aristóteles y que se convirtieron en imprescindibles en las escuelas del Renacimiento hasta el punto de que todo estudiante llevaba uno. La idea se generalizó más tarde entre cierto tipo de lector ilustrado.

En el caso de esta actividad escolar, la idea es que los niños dediquen una pequeña libreta a copiar, no sólo los pasajes que les llamen la atención de los libros que vayan leyendo, sino  frases que escuchen, pintadas en muros y hasta diálogos de dibujos animados o películas que de un modo u otro les hayan llamado la atención. Si pudieran escribir alguna reflexión que les susciten los textos, mejor que mejor. Los pensamientos ajenos estimulan los propios.

Se puede encontrar más información aquí.

Problemas de Fermi

Los llamados problemas o cuestiones de Fermi son problemas en los que se pide la estimación de una determinada magnitud dando un número muy limitado de datos. Se llaman así en honor al físico Enrico Fermi quien era conocido por su habilidad para hacer buenos cálculos a partir de datos escasos o nulos. Quizás el problema de Fermi más célebre, y que él mismo planteó a sus alumnos de la Universidad de Chicago, es el siguiente: ¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago? Lógicamente, a una una pregunta así no se le puede dar una respuesta exacta sino que se trata de hacer una estimación a la que además se puede llegar por distintos caminos. Uno tiene que suponer que una ciudad como Chicago debe de tener aproximadamente “tantos” habitantes de los que “cuantos” tocan el piano y así, hasta llegar a un resultado aproximado. Algunos ejemplos relativamente sencillos de problemas de Fermi que se podrían plantear a niños de Primaria son los siguientes:

  • ¿Cuál es la velocidad a la que crece el cabello humano?
  • ¿Cuántas hojas de papel gasta un alumno de 5º de Primaria durante un curso?
  • ¿A qué velocidad crece una persona durante sus primeros 10 años de vida?
  • Si toda las personas que hay en el mundo se pusieran pegadas unas a otras, ¿qué área ocuparían?
  • ¿Cuántos camiones se necesitarían para retirar toda las rocas y piedras del Teide?
  • ¿Cuántos pelos hay en tu cabeza?
  • ¿De qué tamaño serían las hormigas si las personas fuéramos tan altas como edificios de 5 plantas?
  • ¿Cuántas pelotas de golf caben en una maleta?
  • ¿Cuánto tardaría un niño de 6º en leer todos los libros de la biblioteca de la clase?
  • ¿Cuántas veces al año dice un adolescente canario la palabra ‘loco’?

Creo que los problemas de Fermi son muy beneficioso por las siguientes razones: i) El enunciado del problema no contiene números por lo que se evita que los alumnos se lancen a hacer cálculos a lo tonto, es decir, sin haber analizado primero el contexto de una situación dada; ii) Obligan a trabajar con estimaciones y cálculos aproximados; iii) Se introduce de manera implícita el concepto de orden de magnitud; iv) Al ser problemas abiertos con finales también abiertos, la transferencia de los resultados, desde el modelo al mundo real, se hace más clara para el alumno; v) Suponen un reto intelectual para los alumnos; vi) No se pueden resolver usando un único algoritmo predeterminado por lo que fomentan la creatividad; vii) Son ejercicios razonables para el entrenamiento de los cálculos matemáticos básicos; viii) El análisis de los pasos y estrategias que siguen los alumnos para resolverlos permite entender a los propios niños (y al profesor), cómo crean los modelos matemáticos y qué dificultades encuentran; ix) Permiten integrar conocimientos de diversas áreas; y x) Estimulan el pensamiento crítico ya que ofrecen al estudiante una herramienta de análisis racional de la información.

Más información aquí y aquí.

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